A un idéal maximal ?
En mathématiques, en particulier en théorie des anneaux, un idéal maximal est un idéal qui est maximal parmi tous les idéaux propres d’un anneau donné. Les idéaux maximaux sont utilisés dans la construction de champs à partir d’anneaux, ainsi que dans l’étude des anneaux eux-mêmes.
Étant donné un anneau R, un idéal I de R est dit maximal si I est propre (c’est-à-dire que I n’est pas égal à R) et s’il n’existe pas d’autre idéal propre J de R tel que I soit contenu dans J. En d’autres termes, un idéal maximal est un idéal qui n’est contenu dans aucun autre idéal propre. Chaque anneau a au moins un idéal maximal ; par exemple, l’idéal zéro {0} est toujours maximal.
Les idéaux maximaux peuvent être utilisés pour construire des champs à partir d’anneaux. Étant donné un anneau R d’unité et un idéal maximal m de R, l’anneau quotient R/m est un corps. Ce résultat découle du fait que m ne contient aucun élément inversible (à l’exception de 0), et donc tout élément non nul de R/m a un inverse multiplicatif. Inversement, chaque champ peut être obtenu de cette manière à partir d’un anneau et d’un idéal maximal convenablement choisis.
L’étude des anneaux implique souvent l’examen des propriétés de leurs idéaux, et en particulier de leurs idéaux premiers et maximaux. Le concept d’idéal premier minimal joue un rôle double à celui d’idéal maximal ; un idéal P d’un anneau R est dit minimal si P est premier et s’il n’existe pas d’autre idéal premier Q tel que Q contienne proprement P.
En mathématiques, plus spécifiquement en théorie des anneaux, un idéal maximal est un idéal qui est maximal (par rapport à l’inclusion d’ensemble) parmi tous les idéaux propres. En d’autres termes, I est un idéal maximal d’un anneau R s’il n’y a pas d’autres idéaux contenus entre I et R.
Y a-t-il toujours un idéal maximal ?
Tout idéal propre est contenu dans un idéal maximal, dans un anneau commutatif avec identité. L’énoncé est : Dans un anneau commutatif avec 1, tout idéal propre est contenu dans un idéal maximal.
Comment montre-t-on qu’une chose est un idéal maximal ?
Je sais qu’il y a deux façons de prouver qu’un idéal est maximal : On peut montrer que, dans l’anneau R, chaque fois que J est un idéal tel que M est contenu par J, alors M=J ou J=R. Ou bien on peut montrer que l’anneau quotient R/M est un corps.
Quel est l’anneau qui n’a pas d’idéal maximal ?
Si R est un anneau à valuation discrète avec un idéal maximal M tel que F ⊆ R et R = F + M, alors M, vu comme un anneau, n’a pas d’idéal maximal. A = α ∈ F : αx ∈ N.
Un idéal maximal est-il un idéal premier ?
Comme pour les anneaux commutatifs, les idéaux maximaux sont premiers, et aussi les idéaux premiers contiennent des idéaux minimaux premiers. Un anneau est un anneau premier si et seulement si l’idéal zéro est un idéal premier, et de plus un anneau est un domaine si et seulement si l’idéal zéro est un idéal complètement premier.
2Z est-il un idéal maximal ?
L’idéal 2Z ⊂ Z est premier et maximal, donc 2Z/8Z ⊂ Z/8Z est un idéal premier et maximal.
Comment sait-on qu’un nombre premier est idéal ?
Définition. Un idéal P dans un anneau A est dit premier si P = A et si pour toute paire x, y d’éléments dans AP on a xy ∈ P.
Qu’est-ce qu’un anneau idéal ?
En théorie des anneaux, une branche de l’algèbre abstraite, un idéal d’un anneau est un sous-ensemble particulier de ses éléments. Parmi les entiers, les idéaux correspondent un pour un avec les entiers non négatifs : dans cet anneau, tout idéal est un idéal principal constitué des multiples d’un seul nombre non négatif.
Quel est l’idéal maximal de Q ?
On peut transformer Q en un anneau trivial en définissant ab = 0 pour tout a,b ∈ Q. Dans ce cas, les idéaux sont exactement les sous-groupes additifs de Q. Cependant, Q n’a pas de sous-groupes maximaux, et donc Q n’a pas d’idéaux maximaux. L’idéal M est maximal si R/M est un champ.
Est-ce que 0 est un idéal premier ?
Par idéal premier si l’anneau quotient est un domaine intégral, (0) est premier si et seulement si l’anneau quotient A/(0) est un domaine intégral. Par anneau quotient par idéal nul, A≅A/(0).
Qu’est-ce que l’idéal maximal unique ?
Cela implique que l’idéal droit unique maximal est aussi l’idéal maximal unique. Un idéal droit (bilatéral) d’un anneau est dit grand s’il a une intersection non nulle avec tout idéal droit (bilatéral) non nul de l’anneau. Un anneau est dit intersectif si tout idéal non nul de cet anneau est grand.
Combien d’idéaux premiers y a-t-il dans Z12 ?
Pour R = Z12, deux idéaux maximaux sont M1 = 0,2,4,6,8,10 et M2 = 0,3,6,9. Deux autres idéaux qui ne sont pas maximaux sont 0,4,8 et 0,6. Théorème 27.9. (Analogue du théorème 15.18) Soit R un anneau commutatif avec unité.
Tout idéal est-il un sous-anneau ?
Un sous-anneau doit être fermé sous la multiplication des éléments du sous-anneau. Un idéal doit être fermé sous la multiplication d’un élément de l’idéal par tout élément de l’anneau. Puisque la définition de l’idéal exige plus de fermeture multiplicative que la définition du sous-anneau, tout idéal est un sous-anneau.
Que signifie maximal en anglais ?
1 : être une limite supérieure : le plus élevé. 2 : le plus complet : complet. Autres mots de maximal Exemples de phrases En savoir plus sur maximal.
Qu’est-ce qu’un idéal maximal d’un anneau ?
Un idéal maximal d’un anneau est un idéal , non égal à , tel qu’il n’existe pas d’idéaux « entre » et . En d’autres termes, si est un idéal qui contient comme sous-ensemble, alors soit ou . Par exemple, est un idéal maximal de si est premier, où . est l’anneau des nombres entiers. Il n’y a que dans un anneau local qu’il y a un seul idéal maximal.
Est-ce que 0 est un idéal maximal ?
Si F est un corps, alors le seul idéal maximal est 0. Dans l’anneau Z des entiers, les idéaux maximaux sont les idéaux principaux engendrés par un nombre premier. Plus généralement, tous les idéaux premiers non nuls sont maximaux dans un domaine d’idéaux principaux.
QA est-il un domaine ?
En fait, Q est même un champ ! . Si F est un corps et si xy = 0 pour x, y ∈ F, alors x = 0 ou y = 0. Preuve.
Za est-il un champ ?
Les entiers sont donc un anneau commutatif. L’axiome (10) n’est cependant pas satisfait : l’élément non nul 2 de Z n’a pas d’inverse multiplicatif dans Z, c’est-à-dire qu’il n’existe pas d’entier m tel que 2 – m = 1. Z n’est donc pas un champ.
Est-ce que Z * A est un anneau ?
Systèmes de nombres (1) Tous les Z, Q, R et C sont des anneaux commutatifs avec identité (avec le nombre 1 comme identité). (2) N n’est PAS un anneau pour l’addition et la multiplication habituelles.
Un anneau est-il un idéal de lui-même ?
En général, un idéal est un anneau sans unité – c’est-à-dire sans identité multiplicative – même si l’anneau dont il est un idéal possède l’unité.
Z est-il un sous-anneau de Q ?
Exemples : (1) Z est l’unique sous-anneau de Z . (2) Z est un sous-anneau de Q , qui est un sous-anneau de R , qui est un sous-anneau de C . (3) Z[i] = a, b ∈ Z (i = √ -1) , l’anneau des entiers gaussiens est un sous-anneau de C .
Tout idéal premier est-il primaire ?
Tout idéal premier est premier, et de plus un idéal est premier si et seulement s’il est premier et demi-premier. Tout idéal primaire est primaire. Si Q est un idéal premier, alors le radical de Q est nécessairement un idéal premier P, et cet idéal est appelé l’idéal premier associé de Q. Dans cette situation, Q est dit P-primaire.
Tout anneau possède-t-il un idéal premier ?
Tout anneau non nul possède un idéal premier minimal. Étant donné un idéal I sous-ensemble R et un idéal premier I sous-ensemble mathfrak p, il existe un idéal premier I sous-ensemble mathfrak q sous-ensemble mathfrak p tel que mathfrak q est minimal sur I.
Comment savoir si un polynôme idéal est premier ?
Si P est un idéal premier, alors Q = P ∩ R est premier. Dans le cas où P = Q[x] on prend f = 0 et donc P = [Q, f] suit. Supposons que P ⊃ Q[x] et prenons tout polynôme f ∈ P de degré minimal n par rapport à la condition a = lc(f) ∈ Q.
Pourquoi un champ n’a pas d’idéaux propres ?
Théorème 2.8 : Un anneau commutatif non nul avec unité est un champ s’il n’a pas d’idéaux propres. Ainsi, tout élément non nul de R possède un inverse multiplicatif. En conséquence, R est un champ.
